零点存在定理的应用（零点存在定理）

(资料图)

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1、零点存在性定理如果函数y = f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)＜0那么，函数y = f (x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根。

2、扩展资料证明：不妨设 ，f(b)>0.令E={x|f(x)≤0,x∈[a,b]}.由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，存在ξ=supE∈[a,b].下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).）.事实上，(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,存在δ>0,对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ,这又与supE为E的最小上界矛盾。

3、即推得f(ξ)=0。

4、定理的含义：（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数。

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